1.1 Importancia de la ingeniería económica.
1.1.1 La ingeniería económica en la toma
de decisiones.
1.1.2 Tasa de interés y tasa de rendimiento.
1.1.3 Introducción a las soluciones por
computadora.
1.1.4 Flujos de efectivo: estimación y
diagramación.
1.2 El valor del dinero a través del tiempo.
1.2.1 Interés simple e interés compuesto.
1.2.2 Concepto de equivalencia.
1.2.3 Factores de pago único.
1.2.4 Factores de Valor Presente y
recuperación de capital.
1.2.5 Factor de fondo de amortización y
cantidad compuesta.
1.3 Frecuencia de capitalización de interés.
1.3.1 Tasa de interés nominal y efectiva.
1.3.2 Cuando los periodos de interés
coinciden con los periodos de pago.
1.3.3 Cuando los periodos de interés son
menores que los periodos de pago.
1.3.4 Cuando los periodos de interés son
mayores que los periodos de pago.
1.3.5 Tasa de interés efectiva para
capitalización continúa.
Desarrollo de la Unidad 1
1.1Importancia de la ingeniería económica
Prácticamente a diario se toman decisiones que afectan el futuro. Las opciones que se tomen cambian la vida de las personas poco y algunas veces considerablemente. Por ejemplo, la compra en efectivo de una nueva camisa aumenta la selección de ropa del comprador cuando se viste cada día y reduce la suma de dinero que lleva consigo en el momento. Por otra parte, el comprar un nuevo automóvil y suponer que un préstamo para automóvil nos da opciones nuevas de transporte, puede causar una reducción significativa en el efectivo disponible a medida que se efectúan los pagos mensuales. En ambos casos, los factores económicos y no económicos, lo mismo que los factores tangibles e intangibles son importantes en la decisión de comprar la camisa o el automóvil.
Los individuos, los propietarios de pequeños negocios, los presidentes de grandes corporaciones y los dirigentes de agencias gubernamentales se enfrentan rutinariamente al desafío de tomar decisiones significativas al seleccionar una alternativa sobre otra. Éstas son decisiones de cómo invertir en la mejor forma los fondos, o el capital, de la compañía y sus propietarios. El monto del capital siempre es limitado, de la misma manera que en general es limitado el efectivo disponible de un individuo. Estas decisiones de negocios cambiarán invariablemente el futuro, con la esperanza de que sea para mejorar. Por lo normal, los factores considerados pueden ser, una vez más, económicos y no económicos, lo mismo que tangibles e intangibles. Sin embargo, cuando las corporaciones y agencias públicas seleccionan una alternativa sobre otra, los aspectos financieros, el retorno del capital invertido, las consideraciones sociales y los marcos de tiempo con frecuencia adquieren mayor importancia que los aspectos correspondientes a una selección individual.
1.1.1 La ingeniería económica en la toma de decisiones.
Los métodos y técnicas de la ingeniería económica ayudan a muchas personas a tomar decisiones. Como estas decisiones influyen en lo que posteriormente se hará en el marco de referencia temporal de esta ingeniería será el futuro, por lo tanto los números conforman las mejores estimaciones de lo que se espera que suceda. Estas estimaciones están conformadas por tres elementos fundamentales: flujo de efectivo, tasa de interés y su tiempo de ocurrencia (Blank y Tarquin, 2006, p.7). Los pasos en los procesos de la toma de decisiones son los siguientes:
1. Compresión del problema y definición del objetivo.
2. Reunión de datos importantes.
3. Selección de posibles respuestas alternativas.
4. Identificación de criterios para la toma de decisiones empleando uno o varios atributos.
5. Valoración de las opciones existente.
6. Elección de la opción más óptima y adecuada
7. Implantar el resultado.
8. Vigilar todos los resultados.
Un estudio de ingeniería económica se realiza utilizando un procedimiento estructurado y diversas técnicas de modelado matemático. Después, los resultados económicos se usan en una situación de toma de decisiones que implica dos o más alternativas que por lo general incluye otra clase de información y conocimiento de ingeniería.
1.1.2 Tasa de interés y tasa de rendimiento
Tasa de Interés
La tasa de interés podría definirse de manera concisa y efectiva como el precio que debo pagar por el dinero; es el porcentaje al que está invertido un capital en un período determinando, lo que se conoce como “el precio del dinero en el mercado financiero”.
Dicho de otro modo: si pido dinero prestado para llevar adelante una compra o una operación financiera, la entidad bancaria o la empresa que me lo preste me cobrará un adicional por el simple hecho de haberme prestado el dinero que necesitaba. Este adicional es lo que conocemos como tasa de interés.
La tasa de interés se expresa en puntos porcentuales por un motivo evidente, y es que cuanto más dinero me presten más deberé pagar por el préstamo.
En economía, la tasa de interés cumple un rol fundamental. Si las tasas de interés son bajas porque hay más demanda o mayor liquidez, habrá más consumo y más crecimiento económico. Sin embargo, las tasas de interés bajas favorecen la inflación, por lo que muchas veces se mantienen altas a propósito para favorecer el ahorro y evitar que se disparen los precios.
En cuanto a la TIIE, esta tasa de interés es muy importante porque refleja de manera diaria la Tasa Base de Financiamiento. De este modo, los bancos la utilizan como parámetro para establecer las tasas de interés que cobrarán por los créditos que otorgan.
Las tasas de interés, tienen diferentes nomenclaturas, determinaciones o aplicaciones según se trate de qué sistema las aplica. Por ejemplo, en el contexto de la banca se trabaja con tasas de interés distintas:
Tasa de interés activa: porcentaje que los bancos cobran por los diferentes tipos de servicios de crédito
Tasa de interés pasiva: porcentaje que paga una institución bancaria a quien deposita dinero
A su vez, las tasas pueden verse en tipos de interés nominales y reales. Ellas, dentro del marco de la macroeconomía tienen influencia en otras variables de la economía, en particular con:
La producción y el desempleo
El dinero y la inflación
Dicho de otro modo: si pido dinero prestado para llevar adelante una compra o una operación financiera, la entidad bancaria o la empresa que me lo preste me cobrará un adicional por el simple hecho de haberme prestado el dinero que necesitaba. Este adicional es lo que conocemos como tasa de interés.
La tasa de interés se expresa en puntos porcentuales por un motivo evidente, y es que cuanto más dinero me presten más deberé pagar por el préstamo.
En economía, la tasa de interés cumple un rol fundamental. Si las tasas de interés son bajas porque hay más demanda o mayor liquidez, habrá más consumo y más crecimiento económico. Sin embargo, las tasas de interés bajas favorecen la inflación, por lo que muchas veces se mantienen altas a propósito para favorecer el ahorro y evitar que se disparen los precios.
En cuanto a la TIIE, esta tasa de interés es muy importante porque refleja de manera diaria la Tasa Base de Financiamiento. De este modo, los bancos la utilizan como parámetro para establecer las tasas de interés que cobrarán por los créditos que otorgan.
Las tasas de interés, tienen diferentes nomenclaturas, determinaciones o aplicaciones según se trate de qué sistema las aplica. Por ejemplo, en el contexto de la banca se trabaja con tasas de interés distintas:
Tasa de interés activa: porcentaje que los bancos cobran por los diferentes tipos de servicios de crédito
Tasa de interés pasiva: porcentaje que paga una institución bancaria a quien deposita dinero
A su vez, las tasas pueden verse en tipos de interés nominales y reales. Ellas, dentro del marco de la macroeconomía tienen influencia en otras variables de la economía, en particular con:
La producción y el desempleo
El dinero y la inflación
Tasa de rendimiento
La tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR) de una inversión, está definida como el promedio geométrico de los rendimientos futuros esperados de dicha inversión, y que implica por cierto el supuesto de una oportunidad para "reinvertir". En términos simples en tanto, diversos autores la conceptualizan como la tasa de interés (o la tasa de descuento) con la cual el valor actual neto o valor presente neto (VAN o VPN) es igual a cero. El VAN o VPN es calculado a partir del flujo de caja anual, trasladando todas las cantidades futuras al presente. Es un indicador de la rentabilidad de un proyecto: a mayor TIR, mayor rentabilidad.
Se utiliza para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión. Para ello, la TIR se compara con una tasa mínima o tasa de corte, el coste de oportunidad de la inversión (si la inversión no tiene riesgo, el coste de oportunidad utilizado para comparar la TIR será la tasa de rentabilidad libre de riesgo). Si la tasa de rendimiento del proyecto - expresada por la TIR- supera la tasa de corte, se acepta la inversión; en caso contrario, se rechaza.
La tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR) de una inversión, está definida como el promedio geométrico de los rendimientos futuros esperados de dicha inversión, y que implica por cierto el supuesto de una oportunidad para "reinvertir". En términos simples en tanto, diversos autores la conceptualizan como la tasa de interés (o la tasa de descuento) con la cual el valor actual neto o valor presente neto (VAN o VPN) es igual a cero. El VAN o VPN es calculado a partir del flujo de caja anual, trasladando todas las cantidades futuras al presente. Es un indicador de la rentabilidad de un proyecto: a mayor TIR, mayor rentabilidad.
Se utiliza para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión. Para ello, la TIR se compara con una tasa mínima o tasa de corte, el coste de oportunidad de la inversión (si la inversión no tiene riesgo, el coste de oportunidad utilizado para comparar la TIR será la tasa de rentabilidad libre de riesgo). Si la tasa de rendimiento del proyecto - expresada por la TIR- supera la tasa de corte, se acepta la inversión; en caso contrario, se rechaza.
OTRAS DEFINICIONES
• Es la tasa que iguala la suma del valor actual de los gastos con la suma del valor actual de los ingresos previstos:
• Es la tasa de interés para la cual los ingresos totales actualizados es igual a los costos totales actualizados:
• Es la tasa de interés por medio de la cual se recupera la inversión.
• Es la tasa de interés máxima a la que se pueden endeudar para no perder dinero con la inversión.
• Es la tasa de interés para la cual el Valor Actualizado Neto (VAN) es igual a cero:
• Es la tasa real que proporciona un proyecto de inversión y es aquella que al ser utilizada como tasa de descuento en el cálculo de un VAN dará como resultado 0.
USO GENERAL DE LA TIR
Como ya se ha comentado anteriormente, la TIR o tasa de rendimiento interno, es una herramienta de toma de decisiones de inversión utilizada para conocer la factibilidad de diferentes opciones de inversión.
El criterio general para saber si es conveniente realizar un proyecto es el siguiente:
• Si TIR r Se aceptará el proyecto. La razón es que el proyecto da una rentabilidad mayor que la rentabilidad mínima requerida (el coste de oportunidad).
• Si TIR r Se rechazará el proyecto. La razón es que el proyecto da una rentabilidad menor que la rentabilidad mínima requerida.
1.1.4 Flujos de efectivo: estimación y diagramación
Uno de los elementos fundamentales de la ingeniería económica son los flujos de efectivo, pues constituyen la base para evaluar proyectos, equipo y alternativas de inversión.
El flujo de efectivo es la diferencia entre el total de efectivo que se recibe (ingresos) y el total de desembolsos (egresos) para un periodo dado (generalmente un año).
La manera más usual de representar el flujo de efectivo es mediante un diagrama de flujo de efectivo, en el que cada flujo individual se representa con una flecha vertical a lo larga de una escala de tipo horizontal.
Los flujos positivos (ingresos netos), se representan convencionalmente con flechas hacia arriba y los flujos negativos (egresos netos) con flechas hacia abajo. La longitud de una flecha es proporcional a la magnitud del flujo correspondiente.
Esquemas de flujo de efectivo
· Para evaluar las alternativas de gastos de capital, se deben determinar las entradas y salidas de efectivo.
· Para la información financiera se prefiere utilizar los flujos de efectivo en lugar de las cifras contables, debido a que estos son los que reflejan la capacidad de la empresa para pagar cuenta o comprar activas.
Los esquemas de flujo de efectivo se clasifican en:
· Ordinarios
· No ordinarios
· Anualidad
· Flujo mixto
Flujos de efectivo ordinarios. Consiste en una salida seguida por una serie de entradas de efectivo.
Flujos de efectivo no ordinarios. Se dan entradas y salidas alternadas. Por ejemplo la compra de un activo genera un desembolso inicial y una serie de entradas, se repara y vuelve a generar flujos de efectivo positivos durante varios años.
Anualidad (a). Es una serie de flujos de efectivo iguales de fin de periodo (generalmente al final de cada año). Se da en los flujos de tipo ordinario.
Flujo mixto. Serie de flujos de efectivos no iguales cada año, y pueden ser del tipo ordinario o no ordinario.
1.2 El valor del dinero a través del tiempo.
Hay un fenómeno económico conocido como inflación, el cual consiste en la pérdida de poder adquisitivo del dinero con el paso del tiempo. Ningún país en el mundo está exento de inflación, ya sea que tenga un valor bajo, de 2 a 5 % anual en países desarrollados, o por arriba del 1000 % anual, como en algunos países de América del Sur. Nadie puede escapar de ella. De la misma forma, nadie sabe con certeza por qué es necesaria la inflación o por qué se origina en cualquier economía. Lo único que se aprecia claramente es que en países con economías fuertes y estables, la inflación es muy baja, pero nunca de cero.
Lo único en que se hace énfasis, es que el valor del dinero cambia con el tiempo debido principalmente a este fenómeno, de lo contrario, es decir, si no hubiera inflación, el poder adquisitivo del dinero sería el mismo a través de los años y la evaluación económica probablemente se limitaría a hacer sumas y restas simples de las ganancias futuras (sin embargo, no debe olvidarse la capacidad todavía más importante del dinero de generar ganancias o generar riqueza en el transcurso del tiempo).
Pero sucede lo opuesto. Es posible, mediante algunas técnicas, pronosticar cierto ingreso en el futuro. Por ejemplo, hoy se adquiere un auto por $ 20 000 y se espera poder venderlo dentro de cinco años en $ 60 000, en una economía de alta inflación. El valor nominal del dinero, por la venta del auto, es mucho mayor que el valor actual, pero dadas las tasas de inflación que se tendrán en los próximos cinco años el valor de $ 60 000 traído o calculado a su equivalente al día de hoy, resulta mucho más bajo que $ 20 000.
1.2.1 Interés simple e interés compuesto.
El interés pagado y recibido puede considerarse como simple o compuesto.
1. Interés Simple
El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base.
Interés simple, es también la ganancia sólo del Capital (principal, stock inicial de efectivo) a la tasa de interés por unidad de tiempo, durante todo el período de transacción comercial.
La fórmula de la capitalización simple permite calcular el equivalente de un capital en un momento posterior. Generalmente, el interés simple es utilizado en el corto plazo (períodos menores de 1 año)..
Al calcularse el interés simple sobre el importe inicial es indiferente la frecuencia en la que éstos son cobrados o pagados. El interés simple, NO capitaliza.
El sistema de interés simple se caracteriza por el hecho de que los intereses producidos por el capital en el período no se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo período.-
Esta es la diferencia o elemento que hace que una suma de dinero colocada a interés simple produzca un interés menor a que si fuera colocada a interés compuesto, es que en el primero los intereses producidos por el capital en el período no se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo.
Es decir que los intereses que genere este capital invertido a interés simple serán igual en todos los períodos por los que dure la inversión, suponiendo que el resto de los factores, plazo y nivel de tasa no varíen.
2. Interés Compuesto
El sistema de interés compuesto se caracteriza por el hecho de que los intereses producidos por el capital en el período se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo período. Por lo que si al vencimiento de la operación se renueva la misma por un nuevo período al incorporarse los intereses al capital original; se podrá observar que los intereses que ganará en este segundo período serán mayores a los generados en el primero. Ello es una consecuencia de que el capital colocado es superior al habérsele acumulado los intereses ganados en el primer período y así sucesivamente.
1.2.2 Concepto de equivalencia.
Es un concepto de mucha importancia en el ámbito financiero; utilizado como modelo para simplificar aspectos de la realidad.
Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período; expresamos este concepto con la fórmula general del interés compuesto:
Fundamental en el análisis y evaluación financiera, esta fórmula, es la base de todo lo conocido como Matemáticas Financieras.
Hay dos reglas básicas en la preferencia de liquidez, sustentadas en el sacrificio de consumo:
1. Ante dos capitales de igual valor en distintos momentos, preferiremos aquel más cercano.
2. Ante dos capitales presentes en el mismo momento pero de diferente valor, preferiremos aquel de importe más elevado.
La preferencia de liquidez es subjetiva, el mercado de capitales le da un valor objetivo a través del precio que fija a la transacción financiera con la tasa de interés.
Para comparar dos capitales en distintos instantes, hallaremos el equivalente de los mismos en un mismo momento, y para ello utilizamos las fórmulas de las matemáticas financieras.
Como vimos, no es posible sumar unidades monetarias de diferentes períodos de tiempo, porque no son iguales. Cuando expusimos el concepto de inversión, vimos que la persona ahorra o invierte UM 10 para obtener más de UM 10 al final de un período, determinamos que invertirá hasta cuando el excedente pagado por su dinero, no sea menor al valor asignado al sacrificio de consumo actual, es decir, a la tasa a la cual está dispuesta a cambiar consumo actual por consumo futuro.
Equivalencia no quiere decir ausencia de utilidad o costos; justamente ésta permite cuantificar el beneficio o pérdida que significa el sacrificio de llevar a cabo una operación financiera.
Un modelo matemático representativo de estas ideas, consiste en la siguiente ecuación:
VF = VA + compensación por aplazar consumo
Donde:
VF = Suma futura poseída al final de n períodos, Valor Futuro.
VA = Suma de dinero colocado en el período 0, Valor Actual.
El valor actual (VA) es equivalente a mayor cantidad en fecha futura (VF), siempre y cuando la tasa de interés sea mayor a cero.
Diagrama de equivalencia de capitales
Al cabo de un año UM 100 invertido al 9% anual, es UM 109. Entonces decimos: el valor futuro de UM 100 dentro de un año, al 9% anual, es UM 109. En otras palabras: el valor actual de UM 109 dentro de un año, al 9% anual, es UM 100.
Es decir UM 100 es equivalente a UM 109 dentro de un año a partir de hoy cuando la tasa de interés es el 9% anual. Para una tasa de interés diferente al 9%, UM 100 hoy no es equivalente a UM 109 dentro de un año.
Aplicamos el mismo razonamiento al determinar la equivalencia para años anteriores.
UM 100 hoy es equivalente a UM 100 / 1.09 = UM 91.74, es decir:
UM 91.74 hace un año (anterior), UM 100 hoy y UM 109 dentro de un año (posterior) son equivalentes entre sí al 9% de capitalización o descuento. Con esto establecemos que:
Estas tres sumas de dinero son equivalentes al 9% de interés anual, diferenciado por un año.
Las fórmulas financieras que permiten calcular el equivalente de capital en un momento posterior, son de Capitalización Simple o Compuesta, mientras aquéllas que permiten calcular el equivalente de capital en un momento anterior las conocemos como fórmulas de Descuento Simple o Compuesto. Estas fórmulas permiten también sumar o restar capitales en distintos momentos. Desarrollamos ampliamente el concepto de equivalencia cuando tratamos las clases de interés.
1.2.3 Factores de pago único.
En esencia, un número infinito de procedimientos correctos pueden utilizarse cuando solamente hay factores únicos involucrados. Esto se debe a que sólo hay dos requisitos que deben ser satisfechos: (1) Debe utilizarse una tasa efectiva para i. y (2) las unidades en n deben ser las mismas que aquéllas en i. en notación estándar de factores, entonces, las ecuaciones de pago único pueden generalizarse de la siguiente manera:
P = F(P/F, i efectivo por periodo, número de periodos)
F = P(F/P, i efectivo por periodo, número de periodos)
Por consiguiente, para una tasa de interés del 12% anual compuesto mensualmente, podrían utilizarse cualquiera de las i y los valores correspondientes de n que aparecen en la siguiente tabla, en las fórmulas de pago único. Por ejemplo, si se utiliza la tasa efectiva equivalente por mes para i (1%), entonces el término n debe estar en meses (12). Si se utiliza una tasa de interés efectiva semestral para i, es decir (1.03)3 - 1 ó 3.03%, entonces n debe estar en trimestres (4).
Tasa de interés efectiva
|
Unidades para n
|
1% mensual
|
Meses
|
3.03% trimestral
|
trimestres
|
6.15% semestral
|
Periodos semestrales
|
12.68% anual
|
Años
|
26.97% cada 2 años
|
Periodos de 2 años
|
El señor Hernández planea invertir su dinero en un depósito que paga el 18% anual compuesto diariamente. ¿Qué tasa efectiva recibirá anual y semestralmente?
i anual = (1+0.18/365)365-1 = 19.72%
i semestral = (1+.09/182)182-1 = 9.41%
Si una persona deposita $1000 ahora, $3000 dentro de 4 años a partir de la fecha del anterior depósito y $1500 dentro de 6 años a una tasa de interés del 12% anual compuesto semestralmente. ¿Cuánto dinero tendrá en su cuenta dentro de 10 años?
Solución: Suponga que se ha decidido utilizar una tasa de interés anual para resolver el problema. Dado que solamente pueden ser utilizadas tasas de interés efectivas en las ecuaciones, el primer paso es encontrar la tasa efectiva anual. De acuerdo con la tabla anterior, para r = 12% y capitalización semestral, i efectivo = 12.36%, o mediante la ecuación:
i anual =(1 +0.12/2)2 - 1 = 0.1236 = 12.36%
Dado que i está expresado en unidades anuales, n debe estar expresado en años. Por lo tanto.
F = 1000(F/P,12.36%,10)+3000(F/P,12.36%,6)+1500(F/P,12.36%,4)
F = 1000(3.21)+3000(2.01)+1500(1.59)
F = $11625.00
Como el interés capitaliza semestralmente, si utilizamos la tasa de interés efectiva semestral, obtenemos el siguiente resultado:
F = 1000(F/P,6%,20)+3000(F/P,6%,12)+1500(F/P,6%,8)
F = 1000(3.2071)+3000(2.0122)+1500(1.5938)
F = $11634.40
1.2.4 Factores de Valor Presente y recuperación de capital.
El Valor actual neto también conocido valor actualizado neto (en inglés Net present value), cuyo acrónimo es VAN (en inglés NPV), es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros, originados por una inversión. La metodología consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto. A este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo que el valor obtenido es el valor actual neto del proyecto.
El método de valor presente es uno de los criterios económicos más ampliamente utilizados en la evaluación de proyectos de inversión. Consiste en determinar la equivalencia en el tiempo 0 de los flujos de efectivo futuros que genera un proyecto y comparar esta equivalencia con el desembolso inicial. Cuando dicha equivalencia es mayor que el desembolso inicial, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado.
La fórmula que nos permite calcular el Valor Actual Neto es:
Vt representa los flujos de caja en cada periodo t.
I0 es el valor del desembolso inicial de la inversión.
n es el número de períodos considerado.
El tipo de interés es k. Si el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia el tipo de la renta fija, de tal manera que con el VAN se estimará si la inversión es mejor que invertir en algo seguro, sin riesgo específico. En otros casos, se utilizará el coste de oportunidad.
Cuando el VAN toma un valor igual a 0, k pasa a llamarse TIR (tasa interna de retorno). La TIR es la rentabilidad que nos está proporcionando el proyecto
El método de valor presente es uno de los criterios económicos más ampliamente utilizados en la evaluación de proyectos de inversión. Consiste en determinar la equivalencia en el tiempo 0 de los flujos de efectivo futuros que genera un proyecto y comparar esta equivalencia con el desembolso inicial. Cuando dicha equivalencia es mayor que el desembolso inicial, entonces, es recomendable que el proyecto sea aceptado.
La fórmula que nos permite calcular el Valor Actual Neto es:
Vt representa los flujos de caja en cada periodo t.
I0 es el valor del desembolso inicial de la inversión.
n es el número de períodos considerado.
El tipo de interés es k. Si el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia el tipo de la renta fija, de tal manera que con el VAN se estimará si la inversión es mejor que invertir en algo seguro, sin riesgo específico. En otros casos, se utilizará el coste de oportunidad.
Cuando el VAN toma un valor igual a 0, k pasa a llamarse TIR (tasa interna de retorno). La TIR es la rentabilidad que nos está proporcionando el proyecto
A factor de la recuperación de capital es el cociente de una constante anualidad a valor actual de recibir esa anualidad para una longitud del tiempo dada. El usar tipo de interés i, el factor de la recuperación de capital es:
Donde n es el número de las anualidades recibidas.
Esto se relaciona con fórmula de la anualidad, que da el valor actual en términos de anualidad, tipo de interés, y número de anualidades.
Si n = 1, el CRF reduce a 1+i. Como n va al infinito, el CRF va a i
Este factor permite transformar un valor presente en una serie uniforme:
A = P (1 + i)n . I
(1 + i)n - 1
Donde:
A = Serie constante o uniforme
Donde n es el número de las anualidades recibidas.
Esto se relaciona con fórmula de la anualidad, que da el valor actual en términos de anualidad, tipo de interés, y número de anualidades.
Si n = 1, el CRF reduce a 1+i. Como n va al infinito, el CRF va a i
Este factor permite transformar un valor presente en una serie uniforme:
A = P (1 + i)n . I
(1 + i)n - 1
Donde:
A = Serie constante o uniforme
1.2.5 Factor de fondo de amortización y cantidad compuesta
Las amortizaciones son utilizadas en el ámbito de las finanzas y el comercio para calcular el pago gradual de una deuda, ya que sabemos que en la actividad financiera es común que las empresas y las personas busquen financiamiento o crédito, sea para capitalizarse o para la adquisición de bienes (activos). Ahora el punto podría ser a la inversa, es decir, cuando tenemos una obligación en el corto o largo plazo, podemos empezar ahorrando gradualmente hasta reunir el importe deseado, claro está, con sus respectivos rendimientos. Es aquí cuando la figura del "Fondo de Amortización" se hace necesaria.
Fórmula:
A/F = (F/A) -1 = i (A/F, i%, n)
(1+i)n - 1
Fórmula:
A/F = (F/A) -1 = i (A/F, i%, n)
(1+i)n - 1
Factor de cantidad compuesta de una serie uniforme
F/A = (1+i)n – 1 (F/A, i%, n)
i
i
1.3 Frecuencia de capitalización de interés.
En un sistema de capitalización, se define la frecuencia como el número de veces que los intereses producidos se acumulan al capital para producir nuevos intereses, durante un período de tiempo.
Es decir, si consideramos un período de tiempo anual (n = 12 meses), la frecuencia será 2 si los intereses se capitalizan semestralmente, 3 si se capitalizan cuatrimestralmente, 4 si se capitalizan trimestralmente, 12 si se capitalizan mensualmente. Generalizando la frecuencia de capitalización m, se dará cuando los intereses se capitalicen n/m.
1.3.1 Tasa de intéres nominal y efectiva
La tasa de interés efectiva es aquella que se utiliza en las fórmulas de la matemática financiera. En otras palabras, las tasas efectivas son aquellas que forman parte de los procesos de capitalización y de actualización.
En cambio, una tasa nominal, solamente es una definición o una forma de expresar una tasa efectiva. Las tasas nominales no se utilizan directamente en las fórmulas de la matemática financiera. En tal sentido, las tasas de interés nominales siempre deberán contar con la información de cómo se capitalizan. Por ejemplo, tenemos una Tasa
Nominal Anual (TNA) que se capitaliza mensualmente, lo que significa que la tasa efectiva a ser usada es mensual. Otro caso sería contar con una TNA que se capitaliza trimestralmente, lo que significa que la tasa efectiva será trimestral. Ahora bien, ¿cómo se halla el valor de la tasa de interés efectiva? Las tasas nominales pueden ser divididas o multiplicadas de tal manera de convertirla en una tasa efectiva o también en una tasa proporcional.
En el primer caso, si se recibe la información de una tasa nominal con su capitalización respectiva, entonces esta tasa se divide o se multiplica, según sea el caso por un coeficiente, al que se le denomina normalmente con la letra “m”. En el segundo caso, el de la proporcionalidad, cuando la tasa nominal se divide o multiplica, se halla su respectiva tasa proporcional. Por ejemplo, una TNA puede ser convertida a una Tasa Nominal Semestral (TNS) simplemente dividiéndola entre dos. O también en sentido contrario, una Tasa
Nominal Semestral (TNS) puede ser convertida en una TNA, multiplicándola por dos.
La Tasa de Interés Efectiva
Como se explicara en el párrafo anterior, las tasas efectivas son las que capitalizan o actualizan un monto de dinero. En otras palabras, son las que utilizan las fórmulas de la matemática financiera.
Ahora bien, las tasas de interés efectivas pueden convertirse de un periodo a otro, es decir, se pueden hallar sus tasas de interés efectivas equivalentes. En otras palabras, toda tasa de interés efectiva de un periodo determinado de capitalización tiene su tasa de interés efectiva equivalente en otro periodo de capitalización.
Una diferencia notoria con la tasa de interés nominal es que la efectiva no se divide ni se multiplica. Las tasas nominales pueden ser transformadas a otras proporcionalmente pero el periodo de capitalización sigue siendo el mismo.
Un capital puede ser capitalizado con diferentes tasas efectivas las mismas que se relacionan con diferentes periodos de capitalización, pero el horizonte de capitalización puede ser el mismo. Por ejemplo, si tenemos un capital HOY de 1,000.00 unidades monetarias (u.m.), y se desea capitalizar durante un año, entonces se puede efectuar la operación con una TEA, o también con su equivalente mensual, que vendría a ser una TEM pero que capitaliza doce veces en un año.
También sería igual utilizar una TES como tasa equivalente de una
TEA, teniendo en consideración que la TES capitaliza dos veces en un año. En el caso de las tasas nominales, se pueden transformar independientemente de la capitalización tal como se señalara anteriormente. En tal sentido, la tasa nominal se podría definir como
“una presentación de cómo se va a capitalizar o actualizar un monto de dinero en un horizonte de tiempo”.
Para la conversión de una tasa efectiva a otra tasa efectiva deberá tenerse en cuenta que el horizonte de tiempo de la operación financiera deberá ser el mismo mas no así el periodo capitalizable.
Siguiendo la misma terminología del documento de “La Capitalización con Tasa de Interés Compuesta”1, el horizonte de tiempo de la operación financiera se define con la letra “H”, y el periodo capitalizable se define con la letra “f”. Sabemos que el número de capitalizaciones (n) se obtiene del ratio de “H” y “f”, y que la tasa de interés efectiva siempre deberá estar en la misma unidad de tiempo que el coeficiente
“n” (ver documento mencionado líneas arriba).
1.3.2 Cuando los periodos de interés coinciden con los periodos de pago
Cuando los periodos de interés y os periodos de pago coinciden, es posible usar en forma directa tanto las formulas de interés compuesto desarrolladas anteriormente, así como las tablas de interés compuesto que se encuentran en todos los libros de ingeniería económica, siempre que la tasa de interés i se tome como la tasa de interés efectiva para ese periodo de interés. Aun más, el número de años n debe reemplazarse por el número total de periodos de interés mn.
Ejemplo
Suponga que usted necesita pedir un préstamo de $3000.00. Deberá pagarlo en 24 pagos mensuales iguales. La tasa que tiene que pagar es del 1% mensual sobre saldos insolutos. ¿Cuánto dinero deberá pagar cada mes?
Este problema se puede resolver mediante la aplicación directa de la siguiente ecuación, ya que los cargos de interés y los pagos uniformes tienen ambos una base mensual.
Datos:
P= $3000.00
n= 24 pagos mensuales
i= 1% mensual sobre saldos insolutos
A= ? mensual
n= 24 pagos mensuales
i= 1% mensual sobre saldos insolutos
A= ? mensual
FORMULA
1-(1+i)-n = (1+i)n – 1
(1+0.01)24 – 1
Por lo tanto, usted debe pagar $ 141.22 cada fin de mes durante 24 meses.
1.3.3 Cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago.
Cuando los periodos de interés son menores que los periodos de pago, entonces el interés puede capitalizarse varias veces entre los pagos. Una manera de resolver problemas de este tipo es determinar la tasa de interés efectiva para los periodos de interés dados y después analizar los pagos por separados.
Ejemplo.
Suponga que usted deposita $ 1’000.00 al fin de cada año en una cuenta d ahorros. Si el banco le paga un interés del 6% anual, capitalizado trimestralmente, ¿Cuánto dinero tendré en su cuenta después de 5 años?
Fórmula.
Este problema también se puede resolver calculando la tasa efectiva de interés para el periodo de pago dado y después proceder como cuando los periodos de pago y los de interés coinciden. Esta tasa de interés efectiva puede determinarse como:
α
En donde:
α= Número de periodos de interés por periodo de pago.
r= Interés nominal para ese periodo de pago.
α= m (cuando el periodo de pago es un año)
r= Interés nominal para ese periodo de pago.
α= m (cuando el periodo de pago es un año)
Resolviendo el problema anterior utilizando ahora la tasa efectiva de interés anual:
Tenemos que:
r= 6%
α = m = 4
α = m = 4
4
0.06136 = $ 5’652.40
1.3.4 Cuando los periodos de interés son mayores que los periodos de pago.
Cuando los periodos de interés son mayores que los periodos de pago, puede ocurrir que algunos pagos no hayan quedado en depósito durante un periodo de interés completo. Estos pagos no ganan interés durante ese periodo.
En otras palabras, solo ganan interés aquellos pagos que han sido depositados o invertidos durante un periodo de interés completo.
Las situaciones de este tipo pueden manejarse según el siguiente algoritmo:
1. Considérense todos los depósitos hechos durante el periodo de interés como si se hubieran hecho al final del periodo (por lo tanto no habrán ganado interés en ese periodo).
2. Considérese que los retiros hechos durante el periodo de interés se hicieron al principio del periodo (de nuevo sin ganar intereses).
3. Después procédase como si los periodos de pago y de interés coincidieran.
Ejemplo.
Suponga que usted tiene $ 4’000.00 en una cuenta de ahorros al principio de un año calendárico. El banco paga 6% anual capitalizado trimestralmente, según se muestra en la tabla siguiente donde se muestran las transacciones realizadas durante el año, la segunda columna muestra las fechas efectivas que debemos considerar de acuerdo a los pasos 1 y 2 del algoritmo.
Para determinar el balance en la cuenta al final del año calendárico, debemos calcular la tasa de interés efectiva 6% / 4 = 1.5% por trimestre.
Posteriormente se suman las cantidades en las fechas efectivas.
Para determinar el balance en la cuenta al final del año calendárico, debemos calcular la tasa de interés efectiva 6% / 4 = 1.5% por trimestre.
Posteriormente se suman las cantidades en las fechas efectivas.
Datos:
P= $ 4’000.00 y ver tabla
i= 6% anual capitalizado trimestralmente = 6% / 4 = 1.5% trimestralmente
F= ?
i= 6% anual capitalizado trimestralmente = 6% / 4 = 1.5% trimestralmente
F= ?
Fecha
|
Fecha efectiva
|
Depósito
|
Retiro
|
Enero 10
|
$ 175.00
| ||
Febrero 20
|
$ 1’200.00
| ||
Abril 12
|
$ 1’500.00
| ||
Mayo 5
|
$ 65.00
| ||
Mayo 13
|
$ 115.00
| ||
Mayo 24
|
$ 50.00
| ||
Junio 21
|
$ 250.00
| ||
Agosto 10
|
$ 1’600.00
| ||
Septiembre 12
|
$ 800.00
| ||
Noviembre 27
|
$ 350.00
| ||
Diciembre 17
|
$ 2’300.00
| ||
Diciembre 29
|
$ 750.00
|
1.3.5 Tasa de interés efectiva para capitalización continúa.
A medida que el periodo de capitalización disminuye, el valor m (número de periodos de capitalización) aumenta.
Cuando el interés se capitaliza en forma continua, m se acerca al infinito y la fórmula de tasa de interés efectiva puede escribirse de una nueva forma:
i = er-1
Ejemplo: Para una tasa de interés del 15% anual, la tasa efectiva continua anual es:
i = e0.15-1 = 0.16183 = 16.18%
Para una tasa de interés del 18% anual compuesto en forma continua, calcule la tasa de interés efectiva anual y mensual.
i mensual = e0.18/12-1 = 1.51%
i anual = e0.18-1 = 19.72%
Si un inversionista exige un retorno efectivo de por lo menos el 15% sobre su dinero ¿Cuál es la tasa mínima anual nominal aceptable si tiene lugar una capitalización continua?
0.15 = er-1 --- er = 1.15 --- lner = ln 1.15 --- r = ln 1.15
r = 0.1398 = 13.98%
El señor Rodríguez y la señora Hernández planean invertir $5000 a 10 años a un 10% anual. Calcule el valor futuro para ambos si el señor Rodríguez obtiene un interés compuesto anualmente y la señora Hernández obtiene capitalización continua.
Para el señor R.: F = P(F/P,10%,10) = 5000(2.5937) = $12968.5
Para la señora H.: i = e0.10-1 = 10.52%
F = P(1+i)n = 5000(1.1052)10 = 5000(2.72) = $13594.99
Preguntas
1.- Explique que es la Ingeniería Económica y la importancia de esta para los ingenieros y otros profesionistas.
La ingeniería Económica es una herramienta para la solución de problemas, considerada necesaria para que los ingenieros estén conscientes de la importancia de esta rama en su carrera.Contar con las herramientas de análisis de ingeniería económica para poder buscar soluciones a los problemas de decisión que enfrentan comúnmente los profesionales de la ingeniería.
Podemos considerar a la ingeniería económica como la disciplina que está encargada de aspectos económicos que básicamente sirven de apoyo en decisiones que se toman dentro de este campo laboral. Y por tanto para ingenieros como para diversos profesionistas las técnicas empleadas dentro de esta se consideran necesarias para las alternativas dentro de la solución de problemas.
2.- Señalar la importancia de la ingeniería económica en la toma de decisiones.
Al momento de tomar una decisión, el individuo toma en cuenta factores económicos y no económicos, o factores tangibles e intangibles, lo que sustenta en gran medida la decisión que vaya a seleccionar.
Dejando a un lado los factores subjetivos, el individuo toma decisiones basándose principalmente en los factores económicos que implican estas. Es ahí donde radica la importancia de la ingeniería económica.
Dejando a un lado los factores subjetivos, el individuo toma decisiones basándose principalmente en los factores económicos que implican estas. Es ahí donde radica la importancia de la ingeniería económica.
Toda persona, tanto en su vida diaria, como en el ámbito laboral toma decisiones basadas, la mayor parte del tiempo en aspectos económicos, por esto la ingeniería económica y los factores que intervienen en esta es de vital importancia y relevancia dentro de la toma de decisiones, ya que estas podrán depender de soluciones prácticas y eficaces.
3.- Explique que es el flujo de efectivo y su diagramación
El flujo de efectivo es la diferencia entre el total de efectivo que se recibe (ingresos) y el total de desembolsos (egresos) para un periodo dado (generalmente un año).
La manera más usual de representar el flujo de efectivo es mediante un diagrama de flujo de efectivo, en el que cada flujo individual se representa con una flecha vertical a lo larga de una escala de tipo horizontal.
http://www.slideshare.net/sergio_ayup/unidad-1-6739129
Los flujos de efectivo forman parte de la evaluación de proyectos, equipo y alternativas de inversión dentro de las organizaciones, de esta forma son considerados como una de las herramientas básicas dentro de la ingeniería económica.
4.- ¿Cómo debemos entender el valor del dinero a través del tiempo?
Un fenómeno muy común del dinero es que su valor puede variar con el tiempo debido a diversos factores que afectan a la economía, por ello es indispensable comprender este proceso para garantizar que una inversión rinda verdaderamente como lo esperamos.
5.- Explique que es la capitalización
La capitalización es una forma organizada y metódica de ahorro que mediante depósitos constantes y uniformes pretende formar una suma más grande.
Cuando hablamos de capitalización nos referimos al momento o a la acción de invertir con el propósito de producir y generar intereses durante el lapso de tiempo que dicha inversión dure. Es una estrategia empresarial de mucha relevancia dentro de este ámbito, ya que es una forma segura de respaldar el capital con el que se cuenta.
6.- Explique que es la equivalencia
Es un concepto de mucha importancia en el ámbito financiero; utilizado como modelo para simplificar aspectos de la realidad.
Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período.
Dos sumas son equivalentes (no iguales), cuando resulta indiferente recibir una suma de dinero hoy (VA - valor actual) y recibir otra diferente (VF - valor futuro) de mayor cantidad transcurrido un período.
El termino de equivalencia dentro del ámbito económico esta originado por conceptos tanto como del valor del dinero en el tiempo como la tasa de inertes ya que con esto nos referimos al momento en que diferentes cantidades o sumas de dinero en distintos tiempos puedes tener el mismo valor económico.
7.- Explique la diferencia entre interés simple e interés compuesto
El interés simple, es pagado sobre el capital primitivo que permanece invariable. En consecuencia, el interés obtenido en cada intervalo unitario de tiempo es el mismo. Es decir, la retribución económica causada y pagada no es reinvertida, por cuanto, el monto del interés es calculado sobre la misma base. El sistema de interés compuesto se caracteriza por el hecho de que los intereses producidos por el capital en el período se acumulan al mismo para generar intereses en el próximo período.
La diferencia que se encuentra dentro del interés simple y el interés compuesto es muy concreta, ya que como sabemos el interés simple no varía, ya que la retribución que este origina siempre se mantendrá firme y constante, a diferencia del interés compuesto, ya que en este el capital se irá acumulando e ira aumentado conforme pase el tiempo.
Mapa mental "El ingeniero en Gestión Empresarial"
hola mi nombre es Miguel y me gustaría que si es posible en que dejase una fuente de información básica para que se pueda acceder a ya que el link en donde saco la información esta caído, gracias.
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